Parlem de geometria hiperbòlica

Es denomina geometria no euclidiana, a qualsevol forma de geometria en la qual els postulats i propietats difereixen en algun punt dels establerts per Euclides en el seu tractat ‘Elements’.

No existeix un sol tipus de geometria no euclidiana, encara que si es restringeix la discussió a espais homogenis, en els quals la curvatura de l’espai és la mateixa en cada punt, i que els punts de l’espai són indistingibles es poden distingir tres tipus de geometries: La geometria euclidiana satisfà els cinc postulats d’Euclides i té curvatura zero mentre que les geometries hiperbòlica i el·líptica satisfan només els quatre primers postulats i tenen curvatura negativa i positiva respectivament.

Aquestes geometries són casos particulars de geometries riemannianes amb curvatura constant. Si s’admet la possibilitat que la curvatura intrínseca de la geometria variï d’un punt a un altre es té un cas de geometria riemanniana general, com succeeix en la teoria de la relativitat general on la gravetat causa una curvatura no homogènia en l’espai temps, sent major la curvatura prop de les concentracions de massa, la qual cosa és percebut com un camp gravitatori atractiu.

La geometria hiperbòlica, teoritzada inicialment per Kant, va ser formalitzada posteriorment i independentment per diversos autors a principis del segle XIX com ara C.F. Gauss, N. Lobachevski i J. Bolyai. El desenvolupament de geometries no euclidianes es van gestar en els seus començaments amb l’objectiu de construir models explícits en els quals no es complís el cinquè postulat d’Euclides.

En aquesta xerrada discutirem alguns aspectes històrics sobre el desenvolupament de la geometria hiperbòlica, estudiarem alguns models i tractarem d’esbrinar la repercussió que ha tingut en el desenvolupament de les Matemàtiques i en el coneixement del món físic.

A càrrec de Eduard Gallego, del departament de Matemàtiques (UAB). (dijous 15 de març 2018)

PDF amb les diapositives.